Cette semaine:

Horaire exceptionnel: Mardi 24 Mai 2022: Quentin Faes

Titre: L'invariant BNS du groupe de Torelli II.
Résumé: Dans l'exposé précédent nous avions vu comment l'invariant BNS d'un groupe de type fini permet de déterminer si certains de ces sous-groupes sont de type fini. Dans cet exposé, après quelques rappels, nous calculerons l'invariant BNS du groupe de Torelli d'une surface à bord, en considérant l'action du Torelli sur le graphe des BP maps. Nous en déduirons que le noyau de Johnson d'une surface est finiment engendré (en genre supérieur à 4).

Planning:

Mardi 28 Septembre 2021: Renaud DETCHERRY.

Titre: Représentations d'homologie d'Heisenberg sur les espaces de configurations des surfaces.
Résumé: Le but de cet exposé est d'expliquer une construction récente due à Blanchet, Palmer et Shaukat qui généralise les représentations de Lawrence-Bigelow-Krammer des groupes de tresses. Nous commencerons par décrire les espaces de configurations des surfaces C_n(S) et leur groupe fondamental. Nous expliquerons les notions d'homologie tordue (par une représentation du pi_1) et localement finie. On verra comment, en tordant l'homologie de C_n(S) par une représentation dite d'Heisenberg, on peut définir des représentations d'un certain sous-groupe du groupe de Torelli des surfaces (sous-groupe de Chillingworth). Enfin, on expliquera comment relever ces représentations à des représentations d'une extension centrale du groupe de Torelli, ou à des "représentations tordues" du groupe modulaire tout entier.
Référence: [Blanchet--Palmer--Shaukat]

Mardi 5 octobre 2021: Quentin FAES.

Titre: Filtration de Johnson et homomorphisme de Johnson.
Résumé: Le but de cet exposé est de "rappeler" proprement la définition et les propriétés de la filtration de Johnson du Mapping Class Group d'une surface (avec du bord). Le n-éme terme de cette filtration d'intersection triviale est définie comme les classes d'isotopies agissant trivialement sur le n-éme quotient nilpotent du groupe fondamental de la surface. Nous verrons qu'il existe une flèche du gradué associé à cette filtration vers un espace de dérivation. Elle est induite par ce qu'on appelle les homomorphismes de Johnson et se comporte très bien algébriquement. Dans un deuxième temps, j'essaierai de donner un résumé des résultats connus sur le sujet.

Enfin, si le temps le permet, j'évoquerai rapidement le lien entre cette filtration et les représentations utilisant les espaces de configuration dont nous avons parlé, ce qui donne une motivation à la compréhension de la représentation de Blanchet, Palmer et Shaukat. Je pourrais aussi comparer le groupe de Chillingworth dont nous avons parlé avec les premiers termes de la filtration de Johnson.

Référence: [Mas]

Mardi 12 octobre 2021 et Mardi 19 Octobre: Jules MARTEL.

Titre: Homologie d'espaces de configurations: bases et calculs.
Résumé: Cet exposé prendra la suite de celui de Renaud. Il se placera dans un contexte plus concret et linéaire à proprement parlé (ce qui fera suite à nos interrogations sur la linéarité des représentations d'homologie d'Heisenberg). Dans le cas g=1, avec deux matrices simples, on représente linéairement le groupe d'Heisenberg et en tordant la représentation à la main (i.e. en jouant avec des matrices), on obtient une action linéaire de tout le groupe modulaire. J'essaierai d'évoquer les motivations quantiques et les généralisations de ce cas particulier (travail en cours avec M. De Renzi). Il sera un cadre ludique pour faire l'exercice de trouver des bases et des matrices pour l'action du groupe modulaire, en suivant un protocole généralisable. Nous trouverons des bases définies par des diagrammes plongés dans la surface (et nous verrons l'importance de la composante de bord, ce qui répondra à la question de Christian). Enfin, inspiré de régles de calculs diagrammatiques épurés--traduisant les lois homologiques--développées pour le calcul des représentations de Lawrence, nous donnerons les recettes pour calculer l'action d'un homéomorphisme sur ces homologies.
Références: [Mar1] [Mar2] [BPS]

Mardi 26 octobre, Mardi 9 novembre : Michele TRIESTINO.

Titre: Le graphe des courbes fin (d'après Bowden, Hensel, et Webb).
Résumé: Le graphe des courbes fin sur une surface compacte est défini ainsi : l'ensemble des sommets est donné par les courbes fermées simples sur la surface, et deux sommets sont reliés par une arête si les deux courbes correspondantes sont disjointes (ou elles n'ont qu'un seul point d'intersection dans le cas du tore).
Comme pour le graphe des courbes et le Mapping Class group (définis "à isotopie près"), ce graphe est hyperbolique au sens de Gromov, et le groupe des homéorphismes de la surface isotopes à l'identité y agit de manière non-élémentaire.
Référence: [B--H--W]

Mardi 16 novembre : Christian BONATTI.

Titre: Les homéomorphismes pseudo-Anosov et le Théorème de Thurston sur la "classification" du mapping class group en trois grandes classes.
Résumé: Le prétexte de ce premier exposé est d'arriver à l'énoncé du théorème en m'inspirant du cas, peut-être vraiment trop simple, du tore. Un but pour muscler un peu est la preuve du théorème de Franks:
Théorème: tout homéomorphisme du tore dont l'action en homologie est hyperbolique est semi conjugué par une application continue isotope à l'identité à l'automorphisme linéaire d'Anosov induit par son action sur l'homologie.
Référence:

Mardi 23 novembre 2021: Christian BONATTI.

Titre: Les homéomorphismes pseudo-Anosov et le Théorème de Thurston sur la "classification" du mapping class group en trois grandes classes II
Résumé: Le prétexte de ce premier exposé est d'arriver à l'énoncé du théorème en m'inspirant du cas, peut-être vraiment trop simple, du tore. Un but pour muscler un peu est la preuve du théorème de Franks:
Théorème: tout homéomorphisme du tore dont l'action en homologie est hyperbolique est semi conjugué par une application continue isotope à l'identité à l'automorphisme linéaire d'Anosov induit par son action sur l'homologie.
Référence:

Mardi 30 novembre 2021: Christian BONATTI.

Titre: Homéomorphismes pseudo-Anosov III : Le facteur de dilatation.
Résumé: Dans cet exposé, on donnera quelques relations simples entre le facteur de dilatation d'un homéomorphisme pseudo-Anosov et le rayon spectral de son action en homologie.
Référence:

Mardi 7 décembre 2021: Wolfgang PITSCH.

Titre: La conjecture de Perron
Résumé: Dans son article Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier, paru aux C.R.A.S. en 2008, B. Perron. énonce une extension très intéressante de l'invariant de Casson à certaines classes de sphères d'homologie rationnelle au prix de réduire cet invariant entier modulo p. Dans cette exposé nous détaillerons la stratégie que nous avons suivie pour essayer de démontrer la validité de l'extension proposée, et qui malheureusement a abouti à montrer qu'elle ne fournit pas un invariant. Cet exposé sera ainsi l'occasion de présenter certains calculs sur l'homologie des mapping class group de niveau p qui sont en soi intéressants.
Ceci est un travail joint avec R. Riba.
Référence: [P--R]

Rappels:

Mercredi 8 décembre : soutenance de thèse de Quentin FAES,
Jeudi 9 décembre : journée GADT.

Mardi 14 décembre 2021: Ivan MARIN, Conférence WINTER BRAIDS.

Mardi 4 Janvier 2022 (Reporté !): Renaud DETCHERRY.

Titre: Sur l'hyperbolicité uniforme du graphe des courbes.
Résumé: TBA
Référence:

Mardi 11 Janvier 2022: Pas de GDT: Rencontres AlMaRe, Paris.

Mardi 18 Janvier 2022: Pablo TORO-SANCHEZ.

Titre: La représentation de Magnus du groupe de Torelli et son interprétation topologique.
Résumé: Le but de cet exposé est d'introduire la représentation de Magnus et de montrer que pour le groupe de Torelli elle n'est pas fidèle. D'abord, on introduira ces représentations du point de vue des dérivées de Fox. Puis, on donnera une interprétation topologique en homologie tordue et, finalement, on montrera qu'elle n'est pas fidèle en construisant une famille d'éléments de son noyau avec l'aide de la forme d'intersection homotopique de Turaev.
Références: [Sa] [Su]

Mercredi 26 Janvier 2022: Marco DE RENZI (Université de Zurich).

Titre: Le théorème de Lickorish--Wallace.
Résumé: Un grand classique de la topologie en basse dimension, le théorème de Lickorish--Wallace affirme que toute variété de dimension 3 fermée, orientée, connexe peut être obtenue par chirurgie le long d'un entrelacs parallélisé dans la sphère de dimension 3. On va expliquer comment la preuve originale de Lickorish nous permet d'interpréter l'action d'un twist de Dehn comme un opérateur courbe au niveau des représentations quantiques des groupes modulaires des surfaces.
Référence:

Mercredi 2 Février 2022: Renaud DETCHERRY.

Titre: Hyperbolicité du graphe des courbes.
Résumé: On rappelle que le graphe des courbes simples C(S) d'une surface S compacte connexe orientée (de genre au moins 2) a pour sommets les classes d'isotopie de courbes simples, et les arêtes relient les courbes disjointes. Il est muni d'une action naturelle de Mod(S). On présentera une preuve de l'(uniforme) hyperbolicité du graphe C(S), et on étudiera les propriétés de l'action des pseudo-Anosov sur C(S): ils agissent de manière loxodromique et faiblement proprement-discontinue.
Référence: [Przytycki-Sisto], [Bowditch]

Mercredi 9 Février 2022: Renaud DETCHERRY.

Titre:Actions des pseudo-Anosov sur le graphe des courbes simples.
Résumé: Soit S une surface connexe orientée fermée de genre au moins 2, et C(S) le graphe des courbes simples sur S. Dans cette deuxième partie, on montrera que les pseudo-Anosov agissent de manière loxodromique et faiblement proprement-discontinue sur C(S). La preuve est basée sur l'étude de certaines métriques Riemanniennes adaptées à un pseudo-Anosov et des longueurs des géodésiques associées. Pour finir, on introduira la distance de Hempel sur les scindements de Heegaard dérivée de la distance sur C(S), et on énoncera certaines de ses propriétés.
Référence: [Przytycki-Sisto], [Hempel]

Mercredi 16 Février 2022: Fathi Ben Aribi (Université Catholique de Louvain).

Titre: Représentations de Burau des tresses et torsions de Reidemeister.
Résumé: La représentation de Burau du groupe des tresses peut être construite via l'action de ce dernier sur le disque troué. Après avoir rappelé cette construction, nous présenterons le théorème de Burau qui relie le polynôme d'Alexander d'un noeud à la représentation de Burau d'une tresse dont la fermeture est ce noeud. Enfin, nous étudierons les torsions de Reidemeister des 3-variétés, qui permettent de mieux comprendre le caractère naturel du théorème de Burau.
Référence:

Mercredi 23 Février 2022: Vacances!

Mercredi 2 Mars 2022: Pas de séance

Mercredi 9 Mars 2022: Luis Paris

Titre: Une représentation linéaire fidèle du groupe de tresses.
Résumé:Au début des années 2000 Daan Krammer et Stephen Bigelow démontrent indépendament l'un de l'autre qu'une certaine représentation linéaire du groupe de tresses à n brins, précédemment introduite par Ruth Lawrence, est fidèle.
Le but de cette suite d'exposés est de présenter la construction et la démonstration de Daan Krammer.
Référence: [Krammer]

Mercredi 16 Mars 2022: Luis Paris

Mercredi 23 Mars 2022: Quentin Faes

Titre: L'invariant BNS du groupe de Torelli.
Résumé:L'invariant BNS (Bieri-Neumann-Strebel) d'un groupe de type fini G est un outil permettant de déterminer si un sous-groupe H de G contenant [G,G] est finiment engendré. Nous essaierons dans un premier temps de comprendre le fonctionnement de l'invariant BNS. Dans un second temps, si le temps le permet, nous calculerons l'invariant BNS du groupe de Torelli d'une surface à bord, en considérant l'action du Torelli sur le graphe des BP maps. Nous en déduirons que le noyau de Johnson d'une surface est finiment engendré (en genre supérieur à 4).
Référence: [Church--Ershov--Putman]

Mercredi 30 Mars 2022: Séminaire de Louis-Hadrien Robert (Université du Luxembourg)

Titre: Une action de sl(2) sur les mousses et les homologies d'entrelacs gl(N)
Résumé: Dans cet exposé, j'expliquerai comment les mousses permettent de donner une définition complètement combinatoire des homologies gl(N), le cas N=2 correspond à la célébrée homologie de Khovanov. Cette description permet de construire une action de sl(2) sur ces groupes d'homologie et de les munir de structures p-DG si l'on travaille en caractéristique p.

Travail en cours et en commun avec You Qi, Joshua Sussan et Emmanuel Wagner.

Mercredi 6 Avril 2022: Léo Bénard (Université de Gottingen)

Titre: TBA
Résumé: TBA

Mercredi 13 Avril 2022: Pas de GDT: Topology Between The Waves 2: Sliceness, exotic pairs and quantum invariants, (Aussois, France).

Mercredi 20 Avril 2022: Vacances!

Mercredi 27 Avril 2022: Vacances!

Mercredi 4 Mai 2022: Inti Cruz Diaz

Titre: Markov partitions I: Surface homeomorphisms.
Résumé:The final objective of this talk is to understand a result of John Franks that relates Alexander's polynomial of periodic orbits of a hyperbolic flow on the sphere and the symbolic dynamics of the flow. In this first session we will define Markov partitions for pseudo-Anosov map and Smale diffeomorphisms, and three objects associated with them: the incidence matrix, the structure matrix and the geometric type. Then I will explain what we mean by the symbolic system associated with them. This will allow us to become familiar with the dynamical objects that we will use in the context of flows, necessary to follow Franks' constructions that we are going to explain in another exposition..
Référence: [Franks]

Mercredi 11 Mai 2022: Inti Cruz Diaz

Titre: Markov partitions II: Existence.
Résumé:In this second talk we will construct a family of Markov partitions for a pseudo Anosov diffeomorphism. This family is finite except for iterations, and will allow us to associate to each map a finite number of geometric types that subsequently determine its conjugacy class.

Mercredi 18 Mai 2022: Pas de GDT: Matemale Spring school

Horaire exceptionnel: Mardi 24 Mai 2022: Quentin Faes